Công thức tính khoảng cách là một chủ đề quan trọng trong hình học không gian, được sử dụng phổ biến trong nhiều bài toán. Các công thức đó tính giữa hai điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng hay khoảng cách giữa hai điểm là những công thức cơ bản mà bạn cần nắm vững để giải quyết các bài toán hình học. Trong bài viết này, Edu Review sẽ tổng hợp và trình bày các công thức tính khoảng cách thông dụng nhất hiện nay. Bạn có thể tham khảo và áp dụng các công thức này để giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy cùng tìm hiểu và ghi nhớ những công thức này để sử dụng khi cần thiết nhé!
Khái niệm công thức tính khoảng cách
Trong toán học, khoảng cách là khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Có nhiều công thức tính khoảng cách khác nhau; tùy thuộc vào tình huống cụ thể mà ta đang giải quyết. Một số công thức phổ biến để tìm khoảng cách bao gồm khoảng cách giữa hai điểm trong không gian; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; và khoảng cách giữa hai đường thẳng. Từ các công thức này, chúng ta có thể tính toán các khoảng cách cần thiết trong nhiều lĩnh vực như hình học; vật lý; kỹ thuật; và nhiều ngành nghề khác.
Các công thức tính khoảng cách
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P) là khoảng cách từ điểm A đến hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (P); được ký hiệu là d(M,(P)). Để biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P); cần tìm hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng (P). Tuy nhiên, để tính dễ dàng hơn, có thể áp dụng công thức sau đây:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(α; β; γ) cùng mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Ta có công thức khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm M (x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là d(M; d).
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Để biết khoảng cách giữa hai đường thẳng, ta cần xét đến góc giữa hai đường thẳng đó. Nếu hai đường thẳng là song song; khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách giữa một điểm bất kỳ trên đường thứ nhất đến đường thẳng thứ hai. Nếu hai đường thẳng chéo nhau thì ta sử dụng công thức sau đây:
Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
Công thức tính toán khoảng cách giữa hai điểm được tính bằng cách sử dụng định lí Pythagoras trên trục tọa độ. Khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) trên mặt phẳng được tính bằng cách lấy căn bậc hai của tổng bình phương khoảng cách giữa hai điểm trên mỗi trục tọa độ; như sau:
Các bài tập tính khoảng cách cơ bản có lời giải
Bài tập 1: Tìm khoảng cách từ điểm M(-1, 2, 3) đến mặt phẳng P: 2x – y + z + 1 = 0.
Lời giải: Ta có công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: d(M, P) = |axM + byM + czM + d| / √(a2 + b2 + c2).
Thay vào đó a = 2, b = -1, c = 1, d = 1, xM = -1, yM = 2, zM = 3, ta được: d(M, P) = |2*(-1) + (-1)2 + 13 + 1| / √(22 + (-1)2 + 12) = 2√6 / 3.
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là 2√6 / 3.
Bài tập 2: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A(2, -1, 3) và B(-4, 5, -2).
Lời giải: Ta có công thức tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B là: d(A, B) = √[(x_B – x_A)2 + (y_B – y_A)2 + (z_B – z_A)2].
Thay vào đó x_A = 2, y_A = -1, z_A = 3, x_B = -4, y_B = 5, z_B = -2, ta được: d(A, B) = √[(-4 – 2)2 + (5 – (-1))2 + (-2 – 3)2] = √122.
Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là √122.
Bài tập tính khoảng cách không có lời giải
- Tìm khoảng cách từ điểm A(2, -3, 1) đến mặt phẳng (P): 2x + y + 3z = 4.
- Tìm khoảng cách từ điểm M(4, 5, -3) đến đường thẳng d: x + 2y – z + 1 = 0.
- Cho đường thẳng d: (x – 1)/3 = (y + 2)/-1 = (z – 3)/2 và mặt phẳng (P): 2x + 3y – z + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và (P).
- Tìm khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến điểm B(4, -2, 0).
- Tìm khoảng cách giữa hai điểm A(1, -2, 3) và B(5, -1, 2).
- Cho hai đường thẳng d1: (x + 1)/2 = (y – 2)/-3 = z/5 và d2: (x – 3)/-1 = y/4 = (z + 1)/3. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này.
- Tìm khoảng cách từ điểm M(-1, 2, 4) đến mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 1 = 0.
- Cho điểm A(2, 3, 4) và đường thẳng d: (x – 1)/2 = (y + 1)/-1 = (z – 3)/3. Tìm khoảng cách từ A đến d.
- Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1): x – 2y + z – 1 = 0 và (P2): 2x + 3y – z + 4 = 0.
- Tìm khoảng cách từ điểm M(1, 2, -1) đến mặt phẳng (P): x – y + 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: (x – 1)/2 = y/3 = (z + 1)/-1.
Lời kết
Trên đây là một số công thức tính khoảng cách và các trường hợp về cách tính khoảng cách khác nhau. Hi vọng rằng với những thông tin mà Edu Review cung cấp ở trên; sẽ giúp các bạn học sinh học tốt hơn các bài toán khoảng cách cũng như học tốt hơn môn Toán nhé. Chúc các bạn ngày càng học giỏi và đạt được ước mơ.
